El Teorema de Deducción es la regla básica que permite introducir el implicador en dos enunciados de un argumento. El esquema de esta regla de inferencia sería el siguiente:
| A | |||
| ... | |||
| ... | |||
| ... | |||
| B | |||
| A→B | |||
El anterior esquema viene a decir que si en una línea de una derivación introducimos un supuesto, A, del que derivamos la conclusión B en otra línea, entonces obtenemos A→B en una nueva línea.
Nos encontramos con que, además de las premisas de que partimos en los argumentos, al llevar a cabo una deducción podemos introducir supuestos que deben ser cancelados (o cerrados). en el esquema, la introducción de un supuesto se representa por la línea que parte de la A, y su cancelación se representa por la línea que acaba al lado de la B.
Veamos cómo funciona esta regla con un ejemplo.
Prueba el siguiente argumento:
| 1. | p→q | ||
| 2. | q→r | ⊢p→r | |
Vemos que hay que conseguir el enunciado p→r que es una implicación. Pues bien, comenzaremos abriendo un supuesto: p; si a partir de este supuesto conseguiemos deducir r, entonces cancelaremos el supuesto y escribiremos p→r:
| 1. | p→q | ||
| 2. | q→r | ⊢p→r | |
| 3. | p | ||
A continuación vemos que podemos aplicar el Modus Ponens a las líneas 1 y 3 para conseguir q:
| 1. | p→q | ||
| 2. | q→r | ⊢p→r | |
| 3. | p | ||
| 4. | q | MP 1,3 | |
Ahora ya está claro que aplicando el Modus Ponens a las líneas 1 y 3 conseguirmos deducir r, con lo que ya podemos cancelar el supuesto abierto en la línea 3:
| 1. | p→q | ||
| 2. | q→r | ⊢p→r | |
| 3. | p | ||
| 4. | q | MP 1,3 | |
| 5. | r | MP 2,4 | |
Y aplicando el Teorema de Deducción al supuesto abierto en la línea 3 y cancelado en la línea 5 estamos autorizados para escribir p→r, que es la conclusión que pretendíamos.
| 1. | p→q | ||
| 2. | q→r | ⊢p→r | |
| 3. | p | ||
| 4. | q | MP 1,3 | |
| 5. | r | MP 2,4 | |
| 6. | p→r | TD 3-5 | |
En la justificación de la línea 6 hemos escrito la abreviatura del Teorema de Deducción: TD, seguido de la expresión 3-5, y no 3,5. La diferencia es importante: al poner un guión [-]entre el 3 y el 5 aludimos a las líneas comprendidas entre la línea 3 y la 5, es decir, la 3, la 4 y la 5. Sin embargo, poniendo una coma [,] entre el 3 y el 5 nos referimos sólo a las líneas 3 y 5.
Antes de que continuemos con casos más complejos del Teorema de Deducción en la siguiente página, es conveniente que practiques lo aprendido con las actividades relacionadas.