La construcción de tablas de verdad (1)

Comencemos con el ejemplo de la tabla de verdad del siguiente enunciado: ¬(p∨q).

Como paso previo, observa bien el enunciado:

El primer paso consiste en poner los enunciados atómicos presentes en el enunciado del que queremos calcular su tabla de verdad en tantas columnas como enunciados atómicos tengamos. Como debe haber tantas columnas como enunciados atómicos tengamos, en este caso tenemos 2 columnas (una para el enunciado p y otra para el enunciado q):

p q
V V
V F
F V
F F

En las celdillas de dicha tabla hay que ubicar todas las combinaciones posibles de verdad o falsedad para los enunciados que contenga el enunciado objeto de estudio.:

p q
V V
V F
F V
F F

Hay un algorimo que permite enumerar fácilmente todas las combinaciones de verdad o falsedad de dos o más enunciados:

  1. En la primera columna se pone, de arriba hacia abajo, la mitad de celdillas con Vs y la otra mitad con Fs.
  2. En la columna siguiente, siempre de arriba hacia abajo, se pone la cuarta parte de celdillas con V, la siguiente cuarta parte con Fs, la siguiente con Vs y la última con Fs.
  3. En la columna siguiente, si la hubiere, se pondría la octava parte de celdillas con Vs, la siguiente octava parte con Fs, y así sucesivamente con todas las celdillas y con todas las demás columnas si las hay.

de todas las combinaciones posibles de verdad o falsedad para tres enunciados
×

Ejemplo de todas las combinaciones posibles de verdad o falsedad para tres enunciados (atómicos):

p q r
V V V
V V F
V F V
V F F
F V V
F V F
F F V
F F F

Fíjate en esto...

Llamamos atribuciones veritativas a todas la combinaciones de verdad y falsedad de las proposiciones atómicas de una fórmula.

El número de estas atribuciones veritativas aumenta rápidamente a medida que se incrementa el número de proposiciones de la fórmula. Para n proposiciones, la fórmula 2 n nos da el número de estas atribuciones veritativas. Así:

  • Para dos proposiciones: 2n=22=2×2=4
  • Para tres proposicones: 2n=23=2×2×2=8
  • Para tres proposiciones: 2 n=24=2×2×2×2=16
  • etc.

A continuación hay que poner tantas columnas como conectores que unan enunciados atómicos. [En nuestro ejemplo tenemos dos conectores (¬ y ∨), por lo que añadimos dos nuevas columnas.]

p q    
V V    
V F    
F V    
F F    
En cuarto lugar, se pone, encabezando cada columna, los enunciados atómicos, siguiendo el orden de dominancia de las conectivas. Primero se ponen los enunciados más concretos (los paréntesis), y por último las más generales:
p q
(p∨q)
¬(p∨q)
V V    
V F    
F V    
F F    
A continuación se procede a determinar el valor de verdad de cada celdilla, una tras otra. Hay que tener en cuenta la definición de cada conector involucrado en la columna correspondiente, y los valores de V o F que corresponden a cada fila.
p q
(p∨q)
¬(p∨q)
V V
V
F
V F
V
F
F V
V
F
F F
F
V
Fíjate que la tercera columna es exactamente igual a la tabla de verdad que mencionábamos cuando definimos la disyunción , y que la cuarta columna muestra los valores de verdad opuestos a los de la tercera columna de acuerdo con la definición de la negación .

Tabla de verdad de la disyunción

p q p∨q
V V V
V F V
F V V
F F F

Tabla de verdad de la negación

p ¬p
V F
F V

Hay una forma equivalente muy similar de representar el mismo proceso que hemos explicado, y consiste en añadir una sola columna con el enunciado ¬(p ∨q) completo. A continuación se va poniendo debajo de cada conectiva el valor de verdad que le corresponda, respetando el orden de prioridad que marquen los paréntesis.Veamos:

p q
¬ (p∨q)
F
V
F
V
F
V
V
F
V V
V F
F V
F F
Los valores de verdad del enunciado ¬(p∨q) son los de su conectiva dominante, que en este caso es la negación, y que aparecen en la columna con las Vs y Fs rojas.

Recomendamos este segundo método sólo cuando ya se haya cogido soltura con el explicado en primer lugar.

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